La conversion de 100 en binaire est l’un des exercices de référence dans les programmes de technologie au collège (cycle 4) et de NSI au lycée. Le résultat est 1100100 en base 2, soit 7 bits.
Sur 8 bits, la représentation complète s’écrit 01100100 : le zéro initial ne change pas la valeur, il complète simplement le format de stockage. Cette fiche de révision couvre la méthode de conversion, le vocabulaire attendu aux examens et les points d’erreur les plus fréquents.
Conversion décimal vers binaire : la méthode des divisions successives
La méthode la plus fiable pour convertir un entier décimal en binaire consiste à diviser le nombre par 2 de façon répétée et à relever les restes. Les restes, lus de bas en haut, donnent l’écriture binaire.
Voici le détail pour 100 ÷ 2 :
| Division | Quotient | Reste (bit) |
|---|---|---|
| 100 ÷ 2 | 50 | 0 |
| 50 ÷ 2 | 25 | 0 |
| 25 ÷ 2 | 12 | 1 |
| 12 ÷ 2 | 6 | 0 |
| 6 ÷ 2 | 3 | 0 |
| 3 ÷ 2 | 1 | 1 |
| 1 ÷ 2 | 0 | 1 |
En lisant les restes de bas en haut : 100 en base 10 = 1100100 en base 2. Le dernier reste (1) devient le bit de poids fort, le premier reste (0) devient le bit de poids faible.
Vérification par décomposition en puissances de 2
La conversion inverse permet de vérifier le résultat. Chaque bit de 1100100 correspond à une puissance de 2 :
- 1 × 2⁶ = 64 : bit de rang 6, le plus à gauche.
- 1 × 2⁵ = 32 : bit de rang 5.
- 0 × 2⁴ = 0, 0 × 2³ = 0, 1 × 2² = 4, 0 × 2¹ = 0, 0 × 2⁰ = 0.
Somme : 64 + 32 + 4 = 100. La vérification confirme le résultat.
Table de référence binaire de 0 à 15
Pour le brevet et le bac NSI, connaître les valeurs de 0 à 15 en binaire évite les erreurs de calcul et accélère les conversions. Ces seize valeurs couvrent un nibble (4 bits), unité de base en hexadécimal.
| Décimal | Binaire | Décimal | Binaire |
|---|---|---|---|
| 0 | 0000 | 8 | 1000 |
| 1 | 0001 | 9 | 1001 |
| 2 | 0010 | 10 | 1010 |
| 3 | 0011 | 11 | 1011 |
| 4 | 0100 | 12 | 1100 |
| 5 | 0101 | 13 | 1101 |
| 6 | 0110 | 14 | 1110 |
| 7 | 0111 | 15 | 1111 |
Cette table révèle un point structurel : avec 4 bits, on représente exactement 16 valeurs (de 0 à 15). Avec n bits, le nombre de valeurs possibles est 2ⁿ. Sur 8 bits, on code donc 256 valeurs distinctes (de 0 à 255).
Vocabulaire clé pour le brevet et le bac NSI
Les examinateurs vérifient aussi la maîtrise du vocabulaire de codage. Voici les termes attendus :
- Bit : chiffre binaire, valeur 0 ou 1. C’est l’unité élémentaire d’information.
- Octet : groupe de 8 bits. 100 en décimal tient sur un octet (01100100).
- Bit de poids fort / bit de poids faible : le bit de poids fort est le plus à gauche (valeur la plus élevée), le bit de poids faible est le plus à droite (valeur 2⁰ = 1).
- Base 2 : système de numération n’utilisant que deux symboles, 0 et 1, par opposition à la base 10 (décimal) ou à la base 16 (hexadécimal).
Binaire et hexadécimal : la relation directe
L’hexadécimal (base 16) est directement lié au binaire : chaque groupe de 4 bits correspond à un chiffre hexadécimal. Pour 1100100, on regroupe de droite à gauche : 110 | 0100, soit 6 et 4 en hexadécimal. 100 en décimal correspond donc à 64 en hexadécimal. Ce raccourci est fréquemment exploité en NSI pour simplifier la lecture des adresses mémoire.
Représentation sur 8 bits et format de stockage
Un point souvent source de confusion : 1100100 et 01100100 désignent la même valeur. L’écriture sur 8 bits ajoute un zéro à gauche pour compléter l’octet, sans modifier le nombre. Cette distinction entre valeur et représentation est testée en NSI et dans les exercices de codage du brevet.
En complément à deux (programme NSI première et terminale), la représentation des entiers signés change l’interprétation des bits. Sur 8 bits, 01100100 reste 100 en signé, car le bit de poids fort est 0 (signe positif). Ce n’est pas au programme du collège, mais les élèves de lycée en NSI doivent savoir distinguer les deux conventions.
Nombre de bits nécessaires pour coder 100
La question « combien de bits faut-il pour coder 100 ? » est classique. La réponse se déduit de la table des puissances de 2 : 2⁶ = 64 et 2⁷ = 128. Comme 64 ≤ 100 < 128, il faut au minimum 7 bits. Sur 8 bits (format octet), on ajoute le zéro de remplissage à gauche.
Cette logique s’applique à tout entier : pour coder n, on cherche la plus petite puissance de 2 strictement supérieure à n, ce qui donne le nombre de bits nécessaires.
Points d’erreur fréquents en devoir et en examen
L’analyse des copies révèle trois types d’erreurs récurrentes sur ce type d’exercice.
Première erreur : lire les restes de haut en bas plutôt que de bas en haut lors des divisions successives. Le résultat obtenu est alors 0010011 au lieu de 1100100, une valeur complètement différente.
Deuxième erreur : confondre 0 et 1 dans la décomposition en puissances. Un bit à 0 contribue pour zéro à la somme, quelle que soit sa position. Écrire « 2⁴ = 16 » alors que le bit de rang 4 vaut 0 est une erreur de lecture de la représentation binaire.
Troisième erreur : oublier que la notation binaire dépend du contexte. Sans précision du nombre de bits, 1100100 et 01100100 sont deux écritures valides de 100. En examen, si l’énoncé demande une représentation sur 8 bits, le zéro initial est obligatoire.
La maîtrise de la conversion entre décimal et binaire repose sur deux automatismes : la méthode des divisions successives et la décomposition en puissances de 2. Ces deux outils sont complémentaires – l’un pour convertir, l’autre pour vérifier – et suffisent à traiter la quasi-totalité des exercices rencontrés du collège jusqu’au bac NSI.
